1. 中心化子、正规化子、稳定子和核

这部分内容引入了一个非常重要的概念：中心化子。在群论中，我们不仅关心群本身的结构，也关心群中元素与元素、元素与子集之间的关系。交换性是一个核心关系。但我们发现，并不是群里所有元素都能相互交换（非阿贝尔群）。于是，一个自然的问题就产生了：对于群 $G$ 里的一个特定子集 $A$（比如一个元素，或者一个子群），$G$ 中到底有哪些元素能和 $A$ 里面的 所有 元素都交换呢？

为了回答这个问题，中心化子的概念应运而生。

1. 出发点：我们有一个群 $G$ 和它的一个非空子集 $A$。这个子集 $A$ 可以是任何形式，比如只包含一个元素的集合 $\{a\}$，或者一个子群 $H$，或者任意一些元素的集合。
2. 核心条件：我们在 $G$ 中寻找这样的一些元素 $g$，它们必须满足一个条件：对于 $A$ 中的 每一个 元素 $a$，等式 $g a g^{-1}=a$ 都成立。
3. 等价形式：等式 $g a g^{-1}=a$ 是一个非常关键的式子，称为共轭。当一个元素 $a$ 被另一个元素 $g$ 共轭后，结果仍然是 $a$ 本身，这说明 $g$ 的共轭作用“固定”了 $a$。我们可以对这个等式做一个简单的变形：
   • $g a g^{-1}=a$
   • 在等式右边乘以 $g$：$(g a g^{-1}) g = a g$
   • 根据结合律和逆元的定义：$g a (g^{-1} g) = a g$
   • $g a (1) = a g$ （1 是单位元）
   • $g a = a g$
   • 这个结果告诉我们，条件 “$g a g^{-1}=a$” 和条件 “$g a = a g$”（即 $g$ 和 $a$ 可交换）是完全等价的。
4. 集合的定义：所有满足这个条件的 $g$ 构成的集合，就被定义为 $A$ 在 $G$ 中的中心化子，记作 $C_G(A)$。
5. 总结性描述：因此，$C_G(A)$ 的直观理解就是：它是 $G$ 中所有能够与 $A$ 中 每一个 元素都交换的元素的集合。它衡量了群中元素与子集 $A$ 之间的交换程度。

为了证明一个群 $G$ 的子集 $H$ 是一个子群，我们需要验证三个条件（或者使用子群判别法，这里实际上用了综合的判别法）：

1. 非空性 (Non-empty): $H$ 至少包含一个元素。通常我们证明单位元 $1$ (或 $e$) 在 $H$ 中。
2. 对乘法封闭 (Closure under multiplication): 如果 $x, y$ 都在 $H$ 中，那么它们的乘积 $xy$ 也必须在 $H$ 中。
3. 对求逆封闭 (Closure under inverse): 如果 $x$ 在 $H$ 中，那么它的逆元 $x^{-1}$ 也必须在 $H$ 中。

这里的证明过程就是逐一验证这几点对于 $C_G(A)$ 都成立。

• 第一步：证明非空性
• 我们需要证明 $C_G(A)$ 不是一个空集。最简单的方法就是证明单位元 $1$ 在里面。
• 根据单位元的定义，$1a = a1 = a$ 对于群 $G$ 中的 所有 元素 $a$ 都成立。
• 因为 $A$ 是 $G$ 的一个子集，所以对于 $A$ 中的任意元素 $a$，自然也有 $1a=a1$。
• 这正好符合 $C_G(A)$ 的成员条件（$ga=ag$）。
• 因此，$1 \in C_G(A)$，所以 $C_G(A)$ 是非空的。

• 第二步：证明对求逆封闭
• 假设我们有一个元素 $y \in C_G(A)$。这意味着对于所有 $a \in A$，都有 $yay^{-1}=a$。
• 我们的目标是证明 $y^{-1}$ 也在 $C_G(A)$ 中，也就是说，要证明对于所有 $a \in A$，都有 $y^{-1}a(y^{-1})^{-1} = a$。
• 我们从已知条件 $yay^{-1}=a$ 出发。
• 在等式左边乘以 $y^{-1}$：$y^{-1}(yay^{-1}) = y^{-1}a$。
• 利用结合律：$(y^{-1}y)ay^{-1} = y^{-1}a$，即 $1 \cdot ay^{-1} = y^{-1}a$，所以 $ay^{-1} = y^{-1}a$。
• 在等式右边乘以 $y$：$(ay^{-1})y = (y^{-1}a)y$。
• 利用结合律：$a(y^{-1}y) = y^{-1}ay$，即 $a \cdot 1 = y^{-1}ay$，所以 $a = y^{-1}ay$。
• 我们知道 $(y^{-1})^{-1} = y$，所以 $a = y^{-1}a(y^{-1})^{-1}$。
• 这完全符合 $C_G(A)$ 的定义（用 $y^{-1}$ 替换定义中的 $g$）。
• 因此，如果 $y \in C_G(A)$，那么 $y^{-1} \in C_G(A)$。$C_G(A)$ 对求逆封闭。

• 第三步：证明对乘法封闭
• 假设我们有两个元素 $x, y \in C_G(A)$。这意味着：
• 对于所有 $a \in A$，$xax^{-1} = a$。
• 对于所有 $a \in A$，$yay^{-1} = a$。
• 我们的目标是证明它们的乘积 $xy$ 也在 $C_G(A)$ 中。也就是说，要证明对于所有 $a \in A$，都有 $(xy)a(xy)^{-1} = a$。
• 我们来计算 $(xy)a(xy)^{-1}$：

1. 首先，利用逆元的性质 $(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$。表达式变为 $(xy)a(y^{-1}x^{-1})$。
2. 利用结合律，我们可以重新组合括号：$x(yay^{-1})x^{-1}$。
3. 因为我们知道 $y \in C_G(A)$，所以括号里的 $yay^{-1}$ 就等于 $a$。表达式变为 $xax^{-1}$。
4. 又因为我们知道 $x \in C_G(A)$，所以 $xax^{-1}$ 就等于 $a$。
   • 我们从 $(xy)a(xy)^{-1}$ 出发，经过一系列推导，最终得到了 $a$。
   • 这证明了 $xy \in C_G(A)$。$C_G(A)$ 对乘法封闭。

结论：由于 $C_G(A)$ 满足非空、对乘法封闭、对求逆封闭，所以 $C_G(A)$ 是 $G$ 的一个子群，记作 $C_G(A) \le G$。

这部分内容给出了中心化子记号的简化，并列举了几个经典的例子。

1. 简写: 当子集 $A$ 只包含一个元素 $a$ 时，即 $A=\{a\}$，我们每次都写 $C_G(\{a\})$ 会显得很繁琐。因此，大家约定俗成地把它简写为 $C_G(a)$。$C_G(a)$ 就是群 $G$ 中所有与单个元素 $a$ 可交换的元素的集合。
2. 一个元素的幂: 对于任意一个元素 $a$，它的所有整数次幂 $a^n$ ($n$ 可以是正数、负数或零) 都与 $a$ 是可交换的。因为 $a^n \cdot a = a^{n+1}$ 并且 $a \cdot a^n = a^{n+1}$。所以，$a^n$ 永远满足 $C_G(a)$ 的成员条件。这意味着由 $a$ 生成的循环子群 $\langle a \rangle$ 总是 $a$ 的中心化子 $C_G(a)$ 的一个子集，即 $\langle a \rangle \subseteq C_G(a)$。
3. 例1：阿贝尔群
   • 阿贝尔群的定义就是群中任意两个元素都可交换。即对于任意 $g, x \in G$, 都有 $gx=xg$。
   • 现在我们来求任意子集 $A \subseteq G$ 的中心化子 $C_G(A)$。
   • 根据定义，$C_G(A)$ 是 $G$ 中所有与 $A$ 中 每个 元素都可交换的元素的集合。
   • 因为 $G$ 是阿贝尔群，所以 $G$ 中的 任何 元素 $g$ 都与 $G$ 中的 任何 元素 $a$ 可交换。
   • 自然地， $G$ 中的任何元素 $g$ 也就能与 $A$ 中的任何元素 $a$ 可交换。
   • 因此， $G$ 中的所有元素都满足 $C_G(A)$ 的成员条件。
   • 结论：对于阿贝尔群 $G$，$C_G(A) = G$。
4. 例2：四元数群 $Q_8$
   • 四元数群 $Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$。它的乘法规则是 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。由这些规则可以推导出 $ij=k, ji=-k$ 等。这是一个典型的非阿贝尔群。
   • 我们要求 $C_{Q_8}(i)$，即与 $i$ 可交换的所有元素的集合。
   • 我们来逐一检查：
   • $\pm 1$: 它们是中心元素，与所有元素都可交换。所以 $\pm 1 \in C_{Q_8}(i)$。
   • $i$: 元素与自身可交换。$i \in C_{Q_8}(i)$。
   • $-i$: $(-i)i = -i^2 = -(-1) = 1$。$i(-i) = -i^2 = -(-1) = 1$。所以 $-i \in C_{Q_8}(i)$。
   • $j$: $ij = k$, 而 $ji = -k$。两者不相等，所以 $j \notin C_{Q_8}(i)$。
   • $-j$: $(-j)i = -(ji) = -(-k) = k$。$i(-j) = -(ij) = -k$。两者不相等，所以 $-j \notin C_{Q_8}(i)$。
   • $k$: $ik = i(ij) = i^2j = -j$。$ki = (ji)i = j(i^2) = -j$。两者相等！所以 $k \notin C_{Q_8}(i)$。等等，这里我算错了。应该是 $ik = -j$ 和 $ki=j$ (因为 $k=ij$, $ki=iji$, 而 $ji=-k$, $i(-k)i=-i(ij)i=-i^2j i = ji = -k$ 这太复杂了。直接用关系：$ik = i(ij) = i^2j=-j$, $ki = (-ij)i = -i(ji) = -i(-k)=ik=-j$ 不对。用标准关系: $ij=k, jk=i, ki=j$. 那么 $ik = -ki = -j$。所以 $ik \neq ki$。$k \notin C_{Q_8}(i)$。)
   • 让我们重新用 $ij=k, jk=i, ki=j$ 和 $ji=-k, kj=-i, ik=-j$。
   • $j$: $ij=k$, $ji=-k$。不交换。
   • $k$: $ik=-j$, $ki=j$。不交换。
   • 结论: 只有 $\{\pm 1, \pm i\}$ 与 $i$ 是可交换的。因此，$C_{Q_8}(i)=\{ \pm 1, \pm i\}$。

这部分引入了另一个与交换性密切相关的概念：群的中心。

1. 动机: 在计算中心化子 $C_G(A)$ 时，我们关心的是与特定子集 $A$ 可交换的元素。一个很自然的想法是，有没有一些元素，它们“神通广大”，能够与群 $G$ 中的 所有 元素都可交换？
2. 定义: 中心 (Center) 就是满足这个终极交换性质的元素的集合。它被记作 $Z(G)$ (Z 来自德语 Zentrum，意为中心)。
   • 一个元素 $g$ 在中心 $Z(G)$ 中，当且仅当对于 所有 的 $x \in G$，都有 $gx=xg$。
3. 与中心化子的关系: 这个定义可以和中心化子的定义联系起来。
   • $C_G(A)$ 是与集合 $A$ 中所有元素交换的 $g$ 的集合。
   • 如果我们把这个集合 $A$ 取成整个群 $G$，那么 $C_G(G)$ 就是与群 $G$ 中所有元素交换的 $g$ 的集合。
   • 这和 $Z(G)$ 的定义一模一样！所以，我们得到一个非常重要的关系：$Z(G) = C_G(G)$。
4. 中心是子群: 在前一节，我们已经严格证明了对于 任何 非空子集 $A$，$C_G(A)$ 都是 $G$ 的一个子群。
   • 现在，既然 $Z(G) = C_G(G)$，而 $G$ 本身就是 $G$ 的一个非空子集，那么根据前面的结论，$Z(G)$ 自然也是 $G$ 的一个子群。
   • 这意味着我们不需要重新证明一遍。之前的证明已经覆盖了这种特殊情况。
5. 直接证明 (作为习题): 尽管可以作为特例直接得出结论，但直接证明 $Z(G)$ 是子群也是一个很好的练习。步骤完全相同：
   • 非空性: $1 \in Z(G)$ 因为 $1x=x1$ 对所有 $x$ 成立。
   • 乘法封闭: 若 $g_1, g_2 \in Z(G)$，则对任意 $x \in G$，有 $(g_1g_2)x = g_1(g_2x) = g_1(xg_2) = (g_1x)g_2 = (xg_1)g_2 = x(g_1g_2)$。所以 $g_1g_2 \in Z(G)$。
   • 逆元封闭: 若 $g \in Z(G)$，则 $gx=xg$ 对所有 $x$ 成立。两边同时左乘 $g^{-1}$ 再右乘 $g^{-1}$，得 $g^{-1}(gx)g^{-1} = g^{-1}(xg)g^{-1}$，化简得 $xg^{-1} = g^{-1}x$。所以 $g^{-1} \in Z(G)$。

这部分引入了与中心化子密切相关但又截然不同的概念：正规化子。

1. 共轭集 (Conjugate Set): 在定义正规化子之前，首先要理解 $gAg^{-1}$ 是什么。
   • 给定群 $G$ 的一个元素 $g$ 和一个子集 $A$。
   • $gAg^{-1}$ 是一个新的 集合。这个集合的构造方法是：取出 $A$ 中的 每一个 元素 $a$，对它进行共轭操作得到 $gag^{-1}$，然后把所有这些得到的新元素汇集起来。
   • 即 $gAg^{-1} = \{gag^{-1} \mid a \in A\}$。这个集合称为 $A$ 的一个共轭集。
2. 正规化子的定义: 正规化子 $N_G(A)$ 是 $G$ 中所有满足特定条件的元素 $g$ 的集合。
   • 这个条件是：用 $g$ 对集合 $A$ 进行共轭操作后，得到的共轭集 $gAg^{-1}$ 必须与原集合 $A$ 完全相等。
   • 即 $N_G(A) = \{g \in G \mid gAg^{-1} = A\}$。
3. 中心化子 vs 正规化子: 这是理解上的一个关键点和难点。
   • 中心化子 $C_G(A)$ 的要求是 点态的 (pointwise)：对于 $A$ 中的 每一个 元素 $a$，$g$ 必须让它固定不动，即 $gag^{-1} = a$。
   • 正规化子 $N_G(A)$ 的要求是 集态的 (setwise)：$g$ 的共轭作用不需要让 $A$ 中的每个元素都待在原地，它可以在 $A$ 内部“搅乱”这些元素，只要保证整个集合 $A$ 在变换后仍然是 $A$ 就行。也就是说，$g$ 作用后，原来在 $A$ 里的元素，还在 $A$ 里；原来不在 $A$ 里的元素，作用后也进不到 $A$ 里。
   • 例子: 假设 $A = \{a_1, a_2\}$。
   • 如果 $g \in C_G(A)$，那么必须有 $ga_1g^{-1} = a_1$ 并且 $ga_2g^{-1} = a_2$。
   • 如果 $g \in N_G(A)$，则只需要 $gAg^{-1} = \{ga_1g^{-1}, ga_2g^{-1}\} = \{a_1, a_2\}$。这里可能发生 $ga_1g^{-1} = a_2$ 并且 $ga_2g^{-1} = a_1$ 的情况。元素的位置被交换了，但整个集合没变。
4. 中心化子是正规化子的子群 ($C_G(A) \subseteq N_G(A)$):
   • 这个关系非常重要。我们来证明一下。
   • 假设有一个元素 $g \in C_G(A)$。根据定义，对于所有 $a \in A$，我们有 $gag^{-1} = a$。
   • 现在我们要证明 $g$ 也在 $N_G(A)$ 中，即证明 $gAg^{-1} = A$。
   • 我们来构造集合 $gAg^{-1} = \{gag^{-1} \mid a \in A\}$。
   • 由于对于每一个 $a \in A$，我们都有 $gag^{-1} = a$，所以这个新集合就变成了 $\{a \mid a \in A\}$。
   • 这不就是集合 $A$ 本身吗？
   • 所以，如果 $g \in C_G(A)$，那么 $gAg^{-1}$ 必然等于 $A$，这意味着 $g \in N_G(A)$。
   • 因此，$C_G(A)$ 是 $N_G(A)$ 的一个子集。由于两者都是子群，所以可以说 $C_G(A) \le N_G(A)$。
5. 正规化子是子群: 证明 $N_G(A)$ 是 $G$ 的一个子群，思路和证明中心化子是子群完全一样。
   • 非空性: $1 \in N_G(A)$ 因为 $1A1^{-1} = \{1a1^{-1} \mid a \in A\} = \{a \mid a \in A\} = A$。
   • 逆元封闭: 若 $g \in N_G(A)$，则 $gAg^{-1}=A$。两边用 $g^{-1}$ 共轭，得 $g^{-1}(gAg^{-1})g = g^{-1}Ag$，化简得 $A = g^{-1}A(g^{-1})^{-1}$。所以 $g^{-1} \in N_G(A)$。
   • 乘法封闭: 若 $x, y \in N_G(A)$，则 $xAx^{-1}=A$ 且 $yAy^{-1}=A$。我们来计算 $(xy)A(xy)^{-1} = x(yAy^{-1})x^{-1}$。因为 $yAy^{-1}=A$，所以表达式变为 $xAx^{-1}$。又因为 $xAx^{-1}=A$，所以最终结果是 $A$。因此 $xy \in N_G(A)$。

这个例子讨论的是最简单、性质也最好的一种情况：当群 $G$ 是阿贝尔群时，中心、中心化子和正规化子会变成什么样。

1. 回顾阿贝尔群定义: 阿贝尔群的核心性质是交换律对所有元素成立，即对任意 $x, y \in G$, 都有 $xy=yx$。
2. 中心 $Z(G)$:
   • 中心的定义是 $Z(G) = \{g \in G \mid gx=xg, \forall x \in G\}$。
   • 在阿贝尔群中，根据定义，所有 $g \in G$ 都满足这个条件。
   • 因此，$Z(G)=G$。
3. 中心化子 $C_G(A)$:
   • 中心化子的定义是 $C_G(A) = \{g \in G \mid ga=ag, \forall a \in A\}$。
   • 在阿贝尔群中，任何元素 $g$ 都与群内所有元素可交换，当然也包括子集 $A$ 中的所有元素 $a$。
   • 所以，所有 $g \in G$ 都满足这个条件。
   • 因此，$C_G(A)=G$。
4. 正规化子 $N_G(A)$:
   • 正规化子的定义是 $N_G(A) = \{g \in G \mid gAg^{-1}=A\}$。
   • 我们已经知道 $C_G(A) \subseteq N_G(A)$。既然 $C_G(A)=G$，那么 $G \subseteq N_G(A)$。
   • 同时，根据 $N_G(A)$ 的定义，它本身就是 $G$ 的一个子集，即 $N_G(A) \subseteq G$。
   • 结合这两点，唯一的可能性就是 $N_G(A)=G$。
   • 原文提供了一个更直接的计算：对于任意 $g \in G$ 和任意 $a \in A$，因为群是阿贝尔的，所以 $gag^{-1} = (ga)g^{-1} = (ag)g^{-1} = a(gg^{-1}) = a(1) = a$。
   • 这个计算表明，在阿贝尔群中，$gag^{-1}$ 总是等于 $a$。
   • 那么共轭集 $gAg^{-1} = \{gag^{-1} \mid a \in A\} = \{a \mid a \in A\} = A$。
   • 这个等式对 所有 $g \in G$ 都成立，所以 $N_G(A)=G$。
   • 有趣地发现: 在阿贝尔群中，不仅 $C_G(A)=G$ 和 $N_G(A)=G$，而且因为 $gag^{-1}$ 总是等于 $a$，所以中心化子和正规化子的条件实际上是等价的。

这个例子详细计算了 $D_8$ 中旋转子群 $A$ 的中心化子，是展示非阿贝尔群中如何具体计算的一个典型范例。

1. 设定背景:
   • 群 $G = D_8$ (阶为8的二面体群，正方形的对称群)。
   • 生成元 $r$ (旋转90度) 和 $s$ (某个翻转)。满足关系 $r^4=1, s^2=1, srs^{-1}=r^{-1}=r^3$。
   • 子集 $A = \{1, r, r^2, r^3\}$，这是由 $r$ 生成的循环子群，代表了所有的旋转操作。
2. 证明 $A \subseteq C_{D_8}(A)$:
   • 我们要找与 $A$ 中 所有 元素都可交换的元素。
   • 先考察 $A$ 自身的元素。$A$ 是一个循环群，因此是阿贝尔群。
   • 这意味着 $A$ 中的任意两个元素都可交换。
   • 所以，如果取一个元素 $g \in A$，那么它必然与 $A$ 中的所有元素都可交换。
   • 因此，所有 $A$ 的成员都满足 $C_{D_8}(A)$ 的条件。
   • 这就证明了 $A$ 是 $C_{D_8}(A)$ 的一个子集。由于两者都是子群，我们写成 $A \le C_{D_8}(A)$。
3. 证明 $A$ 之外的元素不在 $C_{D_8}(A)$ 中:
   • $D_8$ 的元素可以分为两类：一类是旋转（在 $A$ 中），另一类是翻转（不在 $A$ 中）。
   • 翻转元素都可以写成 $sr^i$ 的形式，其中 $i \in \{0, 1, 2, 3\}$。这些元素是 $\{s, sr, sr^2, sr^3\}$。
   • 第一步，检查最简单的翻转 $s$:
   • 要判断 $s$ 是否在 $C_{D_8}(A)$ 中，我们需要检查 $s$ 是否与 $A$ 中 所有 元素都交换。
   • 我们只需找到一个反例即可。取 $r \in A$。
   • 我们知道 $D_8$ 的基本关系是 $sr=r^3s$。因为 $r \neq r^3$，所以 $sr \neq rs$。
   • 既然 $s$ 连 $r$ 都不交换，它就不满足“与 $A$ 中所有元素交换”的条件。
   • 因此，$s \notin C_{D_8}(A)$。
   • 第二步，利用子群性质排除所有其他翻转:
   • 现在考虑任何一个翻转元素 $g = sr^i$。
   • 这里用了一个非常巧妙的反证法。
   • 假设 $sr^i \in C_{D_8}(A)$。
   • 我们已经知道 $C_{D_8}(A)$ 是一个子群，并且 $A \le C_{D_8}(A)$。这意味着 $r \in C_{D_8}(A)$，那么它的逆元 $r^{-i}$ 也必然在 $C_{D_8}(A)$ 中。
   • 因为 $C_{D_8}(A)$ 是一个子群，所以它对乘法封闭。如果 $sr^i$ 和 $r^{-i}$ 这两个元素都在 $C_{D_8}(A)$ 里，那么它们的乘积也必须在里面。
   • 计算乘积：$(sr^i)(r^{-i}) = s(r^i r^{-i}) = s(1) = s$。
   • 这就推导出了 $s$ 必须在 $C_{D_8}(A)$ 中。
   • 但这与我们上一步得到的结论 "$s \notin C_{D_8}(A)$" 相矛盾。
   • 既然假设导致了矛盾，那么假设就是错误的。因此，任何形如 $sr^i$ 的元素都不在 $C_{D_8}(A)$ 中。
4. 最终结论:
   • 我们证明了 $A$ 中的所有元素都在 $C_{D_8}(A)$ 中 ($A \subseteq C_{D_8}(A)$)。
   • 我们又证明了所有不在 $A$ 中的元素都不在 $C_{D_8}(A)$ 中。
   • 两者结合，说明 $C_{D_8}(A)$ 恰好就等于 $A$。

这个例子紧接着上一个，计算同一个子集 $A$ 的正规化子，并与中心化子的结果进行对比。

1. 目标: 证明 $N_{D_8}(A) = D_8$，其中 $A = \{1, r, r^2, r^3\}$。
2. 利用已知关系:
   • 我们知道一个普遍的结论：$C_G(A) \le N_G(A)$。
   • 在上一个例子中，我们算出了 $C_{D_8}(A) = A$。
   • 因此，我们可以直接得到 $A \le N_{D_8}(A)$。这意味着所有的旋转操作 $\{1, r, r^2, r^3\}$ 肯定都在 $N_{D_8}(A)$ 中。
3. 检查关键元素 $s$:
   • 现在我们需要检查翻转操作。我们还是从最简单的生成元 $s$ 开始。
   • 要判断 $s$ 是否在 $N_{D_8}(A)$ 中，我们需要计算共轭集 $sAs^{-1}$，并检查它是否等于 $A$。
   • 由于 $s$ 的逆元是它自身 ($s^{-1}=s$)，我们实际上计算的是 $sAs$。
   • $sAs = \{s1s, srs, sr^2s, sr^3s\}$。
   • 逐项计算：
   • $s1s^{-1} = s1s = s^2 = 1$。
   • $srs^{-1} = srs$。根据 $D_8$ 的关系 $sr=r^3s$，我们有 $srs = (sr)s = (r^3s)s = r^3s^2 = r^3$。
   • $sr^2s^{-1} = sr^2s$。我们知道 $r^2$ 是中心元素，所以 $sr^2=r^2s$。因此 $sr^2s = (r^2s)s = r^2s^2 = r^2$。
   • $sr^3s^{-1} = sr^3s$。利用 $sr=r^3s \implies s r^3 = r s$，我们有 $sr^3s = (rs)s = rs^2=r$。
   • 所以，我们得到的共轭集是 $\{1, r^3, r^2, r\}$。
   • 关键观察: 这个集合中的元素和 $A = \{1, r, r^2, r^3\}$ 的元素是完全一样的，只是顺序不同！
   • 因为集合是无序的，所以 $\{1, r^3, r^2, r\} = \{1, r, r^2, r^3\}$。
   • 即 $sAs^{-1}=A$。
   • 这完全满足正规化子的定义，因此 $s \in N_{D_8}(A)$。
4. 利用子群性质和生成元得出最终结论:
   • 我们已经证明了 $N_{D_8}(A)$ 是一个子群。
   • 我们知道 $A = \langle r \rangle \le N_{D_8}(A)$，这意味着 $r \in N_{D_8}(A)$。
   • 我们刚刚又证明了 $s \in N_{D_8}(A)$。
   • 所以，子群 $N_{D_8}(A)$ 同时包含了 $D_8$ 的两个生成元 $r$ 和 $s$。
   • 一个包含群的所有生成元的子群，必然是这个群本身。因为子群对乘法封闭，所以所有由生成元相乘得到的元素（即群的所有元素）都必须在这个子群中。
   • 因此，$D_8 \le N_{D_8}(A)$。
   • 另一方面，根据定义，$N_{D_8}(A)$ 只是 $D_8$ 的一个子集，所以 $N_{D_8}(A) \le D_8$。
   • 两者结合，得出 $N_{D_8}(A) = D_8$。
5. 对比与思考:
   • 原文特别指出，$sAs^{-1}=A$ 但 $srs^{-1}=r^3 \neq r$。这正是正规化子和中心化子的核心区别。$s$ 能够保持集合 $A$ 的整体，但会移动集合内的元素。因此 $s$ 是正规化子的成员，但不是中心化子的成员。

这个例子计算了 $D_8$ 的中心，再次展示了如何利用已有的计算结果和群的结构性质来大大简化证明过程。

1. 目标: 证明 $Z(D_8) = \{1, r^2\}$。
2. 第一步：缩小范围 (证明 $Z(D_8) \subseteq \{1, r^2\}$)
   • 利用 $Z(G) \subseteq C_G(A)$: 这是一个普遍成立的性质。
   • $Z(G)$ 的元素需要和 $G$ 中 所有 元素交换。
   • $C_G(A)$ 的元素只需要和 $A$ 中 所有 元素交换。
   • 显然前者的要求更严，所以满足前者条件的元素一定满足后者。故 $Z(G) \subseteq C_G(A)$。
   • 应用到本例: 让 $A = \{1, r, r^2, r^3\}$。根据例(2)的结果，我们知道 $C_{D_8}(A) = A$。
   • 因此，我们立刻得到 $Z(D_8) \subseteq C_{D_8}(A) = A = \{1, r, r^2, r^3\}$。
   • 这个结论非常有用，它一下子就把我们的搜索范围从8个元素缩小到了4个元素。我们不需要再考虑任何翻转操作了。
   • 进一步缩小范围: 在剩下的 $\{1, r, r^2, r^3\}$ 中，哪些元素不在中心里？
   • 一个元素要在中心里，必须和 所有 元素交换。我们只需要找到一个反例就行。
   • 在例(2)中，我们用到了 $s$ 和 $r$ 不交换 ($sr \neq rs$)。
   • 这个事实说明，$r$ 并不能和 $D_8$ 中所有元素交换（它和 $s$ 就不行），所以 $r \notin Z(D_8)$。
   • 同理，$r^3$ (即 $r^{-1}$) 也和 $s$ 不交换 ($sr^3=rs$)。所以 $r^3 \notin Z(D_8)$。
   • 好了，现在搜索范围从4个元素又缩小到了2个元素：$Z(D_8) \subseteq \{1, r^2\}$。
3. 第二步：证明反向包含 (证明 $\{1, r^2\} \subseteq Z(D_8)$)
   • 我们需要证明 $\{1, r^2\}$ 中的每个元素都在中心里。
   • 元素 1: 单位元永远在中心里，这是平凡的。
   • 元素 $r^2$: 要证明 $r^2 \in Z(D_8)$，我们需要证明它与 $D_8$ 中 所有 元素都可交换。
   • 这里再次用到了生成元技巧。如果一个元素能和群的所有生成元交换，那它就能和整个群交换。$D_8$ 的生成元是 $r$ 和 $s$。
   • 检查 $r^2$ 和 $r$: $r^2$ 和 $r$ 都是 $r$ 的幂，它们之间当然是可交换的 ($r^2r = r^3 = rr^2$)。
   • 检查 $r^2$ 和 $s$: 我们需要计算 $sr^2$ 和 $r^2s$ 是否相等。
   • $sr^2 = srr = (sr)r = (r^3s)r$。
   • 接下来可以继续算 $r^3(sr) = r^3(r^3s) = r^6s = r^2s$。
   • 所以 $sr^2=r^2s$。它们是可交换的。
   • 既然 $r^2$ 与生成元 $r$ 和 $s$ 都交换，那么 $r^2$ 就在 $D_8$ 的中心里。
   • 因此，集合 $\{1, r^2\}$ 里的两个元素都在 $Z(D_8)$ 中，即 $\{1, r^2\} \subseteq Z(D_8)$。
4. 最终结论:
   • 我们证明了 $Z(D_8) \subseteq \{1, r^2\}$。
   • 我们又证明了 $\{1, r^2\} \subseteq Z(D_8)$。
   • 两个集合互相包含，说明它们必然相等。
   • 所以，$Z(D_8) = \{1, r^2\}$。

这个例子分析了 $S_3$ 中一个2阶子群的中心化子和正规化子，并顺带求出了 $S_3$ 的中心。它引入了拉格朗日定理作为一种强大的理论工具来辅助计算。

这部分内容将我们之前学习的中心化子、正规化子等概念，提升到了一个更抽象、更统一的视角——群作用。它指出，我们之前证明的好几个“是子群”的结论，其实都是群作用框架下某个通用结论的特例。

1. 新视角：群作用是群论中一个极其核心和强大的概念。它描述了一个群 $G$ 的元素如何像“变换”一样作用在一个集合 $S$ 上。一个群作用是一个映射 $G \times S \to S$，记作 $(g, s) \mapsto g \cdot s$，满足两条公理：
   • 结合律公理: $(gh) \cdot s = g \cdot (h \cdot s)$ 对所有 $g, h \in G, s \in S$ 成立。
   • 单位元公理: $1 \cdot s = s$ 对所有 $s \in S$ 成立。
2. 稳定子 (Stabilizer) 的定义:
   • 给定一个群作用 $G$ on $S$。
   • 我们从集合 $S$ 中挑选出 一个固定 的元素 $s$。
   • 然后我们回到群 $G$ 中，寻找所有那些“作用在 $s$ 上却让 $s$ 保持不动”的元素 $g$。
   • 这些 $g$ 构成的集合，就叫做元素 $s$ 的稳定子，记作 $G_s$。
   • 定义式：$G_s = \{g \in G \mid g \cdot s = s\}$。
3. 稳定子是子群的证明 (简述):
   • 非空性: 根据群作用的单位元公理，$1 \cdot s = s$，所以 $1 \in G_s$。
   • 逆元封闭: 假设 $y \in G_s$，即 $y \cdot s = s$。我们要证明 $y^{-1} \cdot s = s$。
   • $s = 1 \cdot s = (y^{-1}y) \cdot s = y^{-1} \cdot (y \cdot s)$ (根据结合律公理)
   • 因为 $y \cdot s = s$，所以上式变为 $s = y^{-1} \cdot s$。
   • 这证明了 $y^{-1} \in G_s$。
   • 乘法封闭: 假设 $x, y \in G_s$，即 $x \cdot s = s$ 且 $y \cdot s = s$。我们要证明 $(xy) \cdot s = s$。
   • $(xy) \cdot s = x \cdot (y \cdot s)$ (根据结合律公理)
   • 因为 $y \cdot s = s$，所以上式变为 $x \cdot s$。
   • 又因为 $x \cdot s = s$，所以最终结果是 $s$。
   • 这证明了 $xy \in G_s$。
   • 结论: 稳定子 $G_s$ 总是一个子群。
4. 作用的核 (Kernel) 的定义:
   • 稳定子是让 一个特定 元素 $s$ 保持不变的群元素集合。
   • 作用的核则是一个更强的概念。它要求群元素 $g$ 必须让集合 $S$ 中的 所有 元素都保持不变。
   • 定义式: $\text{Ker}(\text{action}) = \{g \in G \mid g \cdot s = s, \text{对于所有 } s \in S\}$。
5. 核是子群:
   • 证明核是子群比证明稳定子是子群更简单。
   • 也可以从另一个角度看：核是 所有 稳定子的交集。即 $\text{Ker}(\text{action}) = \bigcap_{s \in S} G_s$。
   • 我们知道任意数量的子群的交集仍然是一个子群。既然每个 $G_s$ 都是子群，那它们的交集（核）也必然是子群。

这是本章的高潮部分，它明确地将正规化子、中心化子和中心这三个核心概念，重新诠释为群作用框架下的稳定子和核。

这部分是习题，旨在巩固本章学习的概念。以下是对每个习题目的的简要分析，而非完整解答。

1. 目的: 证明中心化子定义的等价形式。$gag^{-1}=a \iff a=g^{-1}ag$。这是一个基础的代数变形练习。
2. 目的: 理解中心 $Z(G)$ 的性质。$C_G(Z(G))$ 是与中心所有元素交换的元素集合，根据中心定义，这自然是全群 $G$。然后利用 $C_G(A) \le N_G(A)$ 马上得到 $N_G(Z(G))=G$，说明中心永远是正规子群。
3. 目的: 理解中心化子与集合包含关系之间的反向关系。要求越多（与更大的集合 $B$ 交换），满足条件的元素越少。
4. 目的: 实践计算。对三个经典的有限群进行彻底的计算，这是掌握概念的必经之路。拉格朗日定理可以通过限制子群阶来大大简化计算。
5. 目的: 计算更多的例子。这些例子都是“子群是自身的中心化子，但其正规化子是全群”的情况，说明这些子群都是正规子群。
6. 目的: 深入理解正规化子和中心化子与子群 $H$ 自身的关系。$H \le N_G(H)$ 永远成立（一个子群总是在自身内是“正规”的）。而 $H \le C_G(H)$ 则给出了 $H$ 是阿贝尔群的一个等价刻画。
7. 目的: 将 $D_8$ 的中心计算推广到一般的二面体群 $D_{2n}$。这需要更具一般性的代数推导，并根据 $n$ 的奇偶性进行分类讨论。
8. 目的: 这是一个直接应用群作用和稳定子定义的练习。$S_n$ 作用于集合 $\{1, ..., n\}$，固定点 $i$ 的稳定子自然是一个子群。其阶可以通过轨道-稳定子定理计算：$|\text{Orb}(i)|=n$，所以 $|G_i| = |S_n|/n = n!/n = (n-1)!$。
9. 目的: 理解“相对正规化子”的概念。$N_H(A)$ 是在子群 $H$ 的范围内寻找“正规化”$A$ 的元素，其结果自然是全局正规化子和 $H$ 的交集。
10. 目的: 这是一个非常有趣的结论，专门针对2阶子群。它利用了2阶子群只有一个非单位元的简单结构，证明了其中心化子和正规化子必然相等（类似于例5的推导）。
11. 目的: 理解中心和正规化子的关系。中心的元素 $g$ 与所有元素 $x$ 可交换，所以 $gAg^{-1} = \{gag^{-1}|a \in A\} = \{agg^{-1}|a \in A\} = \{a|a \in A\} = A$。所以 $g$ 总是在 $N_G(A)$ 中。
12. - 14. 目的: 这些是更高级的应用题，将群论的概念（群作用，中心）应用到其他数学对象上（多项式环，矩阵群），展示了代数思想的普适性。